Fonction de Kummer

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En mathématiques, il existe plusieurs fonctions connues sous le nom fonction de Kummer. L'une d'elles est connue comme la fonction hypergéométrique confluente de Kummer et de E. T. Whittaker. Une autre, définie ci-dessous, est reliée à la fonction polylogarithme. Les deux ont été nommées en l'honneur du mathématicien Ernst Kummer.

La fonction de Kummer est définie par

${\displaystyle \Lambda _{n}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\ln ^{n-1}|t|}{1+t}\;{\rm {d}t.}$

La formule de duplication est

${\displaystyle \Lambda _{n}(z)+\Lambda _{n}(-z)=2^{1-n}\Lambda _{n}(-z^{2})\,}$.

qu'on peut comparer à la formule de duplication du polylogarithme :

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)+\operatorname {Li} _{n}(-z)=2^{1-n}\operatorname {Li} _{n}(z^{2})}$.

Un lien explicite vers le polylogarithme est donné par

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\operatorname {Li} _{n}(1)\;\;+\;\;\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}\;{\frac {\ln ^{k}|z|}{k!}\;\operatorname {Li} _{n-k}(z)\;\;+\;\;{\frac {(-1)^{n-1}{(n-1)!}\;\left[\Lambda _{n}(-1)-\Lambda _{n}(-z)\right].}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kummer's function » (voir la liste des auteurs).
• (en) Leonard Lewin, Structural Properties of Polylogarithms, 1991 [détail de l’édition]

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