디바이 모형

통계역학
제2법칙에 따른 엔트로피의 증가
열역학 열역학 법칙 (제1 · 제2 · 제3) 열역학 퍼텐셜 (엔트로피  · 내부 에너지 · 엔탈피 · 헬름홀츠 · 기브스 · 큰 퍼텐셜)  · 맥스웰 관계식 상태 방정식 · 이상 기체 (보일-샤를의 법칙 · 이상 기체 법칙)  · 반반데르발스 상태 방정식
통계역학 맥스웰-볼츠만 통계 · 분배 함수 · 특성 상태 함수 앙상블 (작은 바른틀 · 바른틀 · 큰 바른틀)
상전이와 임계 현상 기화  · 끓음  · 융해  · 응축 증발  · 증착  · 삼중점  · 임계점 클라우지우스-클라페롱 관계 란다우 이론  · 평균장 이론
양자통계역학 보스-아인슈타인 통계 · 보스 기체 보스-아인슈타인 응축 · 디바이 모형 (포논)  · 아인슈타인 모형 페르미-디랙 통계 · 애니온 · 페르미 기체 · 페르미 준위 · 페르미 표면 · 띠구조
강자성과 격자 모형 퀴리 온도 · 이징 모형 · 포츠 모형 · 하이젠베르크 스핀 사슬 · 최소 모형
초유체와 초전도체 헬륨-4 · 헬륨-3 · 그로스-피타옙스키 방정식 런던 방정식 · 긴즈부르크-란다우 이론 · BCS 이론
과학자 기브스 · 긴즈부르크 · 디랙 · 디바이 · 란다우 · 랑주뱅 · 맥스웰 · 보골류보프 · 보스 · 아인슈타인 · 이징 · 온사게르 · 줄 · 볼츠만 · 카다노프 · 카디 · 카라테오도리 · 카르노 · 켈빈 · 퀴리 · 클라우지우스 · 클라페롱 · 판데르 발스 · 페르미 · 헬름홀츠
v t e

응집물질물리학에서 디바이 모형(Debye model)은 결정의 비열을 포논을 사용하여 다루는 모형이다.

피터 디바이가 1912년에 발표하였다.^[1]

부피가 ${\displaystyle V}$이고, ${\displaystyle N}$개의 입자로 이루어져 있는 결정을 생각하자. 결정 속 포논이 다음과 같은 선형 분산 관계를 가진다고 하자.

${\displaystyle E=\hbar v\|\mathbf {k} \|}$.

여기서 ${\displaystyle \hbar }$는 디랙 상수, ${\displaystyle v}$는 결정 속 음속, ${\displaystyle \mathbf {k} }$는 포논의 파수 벡터이다. (물론 실제 포논의 분산 관계는 비선형이지만, ${\displaystyle E}$가 매우 작은 경우에는 분산 관계를 대략 선형으로 간주할 수 있다.)

결정의 크기가 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{V}$이므로, 정상파 파수는 다음과 같다.

${\displaystyle k_{i}=\pi n_{i}/{\sqrt[{3}]{V}$ (${\displaystyle n=1,2,3,4,\dots ,{\sqrt[{3}]{N}$. ${\displaystyle i=1,2,3}$).

포논은 보스-아인슈타인 통계를 따르고, 화학 퍼텐셜이 0이다 (즉, 퓨가시티가 1이다). 따라서 포논 기체의 큰 바른틀 분배 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle \ln \Xi (\beta )=-\sum _{n_{1}=1}^{\sqrt[{3}]{N}\sum _{n_{2}=1}^{\sqrt[{3}]{N}\sum _{n_{3}=1}^{\sqrt[{3}]{N}3\ln \left(1-\exp(-\beta hv{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}/2{\sqrt[{3}]{L})\right)}$.

(여기서 ${\displaystyle 3}$은 포논의 자유도의 수이다.)

합을 토머스-페르미 근사로 쓰면 같다.

${\displaystyle \ln \Xi (\beta )=-3\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}\ln \left(1-\exp(-\beta hv\|\mathbf {n} \|/2{\sqrt[{3}]{L})\right))\;d^{3}\mathbf {n} }$

${\displaystyle \approx -{\frac {3\pi }{2}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{6N/\pi }n^{2}\ln \left(1-\exp(-\beta hvn/2{\sqrt[{3}]{L})\right)\;dn}$

${\displaystyle =-9N\int _{0}^{1}x^{2}\ln \left(1-\exp(-x(T_{\text{D}/T))\right)\;dx}$.

여기서

${\displaystyle T_{\text{D}={\frac {hv}{k}{\sqrt[{3}]{3N/4\pi V}$

를 디바이 온도(Debye temperature)라고 하고, 이에 대응하는 주파수

${\displaystyle \nu _{\text{D}=v{\sqrt[{3}]{3N/4\pi V}$

를 디바이 주파수(Debye frequency)라고 한다.

디바이 결정의 에너지는

${\displaystyle E=-{\frac {\partial }{\partial \beta }\ln \Xi }$

${\displaystyle =9NkT_{\text{D}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}{\exp(x(T_{\text{D}/T))-1}\;dx}$

${\displaystyle ={\frac {9NkT^{4}{T_{\text{D}^{3}\int _{0}^{T_{\text{D}/T}{\frac {y^{3}{\exp y-1}\;dy}$

이고, 그 비열용량은

${\displaystyle c={\frac {1}{Nk}{\frac {dE}{dT}$

${\displaystyle =9T_{\text{D}^{2}\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\exp(x(T_{\text{D}/T))}{T^{2}(\exp(x(T_{\text{D}/T))-1)^{2}\;dx}$

${\displaystyle =9(T/T_{\text{D})^{3}\int _{0}^{T_{\text{D}/T}{\frac {y^{4}\exp y}{(\exp y-1)^{2}\;dy}$

이다.

• 보스 기체
• 그뤼나이젠 상수