침몰 (수학)

미분기하학에서, 침몰(沈沒, 영어: submersion)은 접공간 사이의 전사 함수를 유도하는 매끄러운 함수이다. 몰입의 쌍대 개념이다.

다음이 주어졌다고 하자.

• 두 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$
• 매끄러운 함수 ${\displaystyle f\colon M\to N}$

그렇다면, 각 점 ${\displaystyle x\in M}$에서, 실수 선형 변환

${\displaystyle \mathrm {T} _{x}f\colon \mathrm {T} _{x}M\to \mathrm {T} _{f(x)}N}$

을 정의할 수 있다. 여기서 ${\displaystyle \mathrm {T} _{x}M}$은 ${\displaystyle M}$의 ${\displaystyle x}$에서의 접공간이다.

만약 ${\displaystyle \mathrm {T} _{x}f}$가 전사 함수라면, ${\displaystyle f}$를 ${\displaystyle x}$에서의 침몰이라고 하며, ${\displaystyle x}$를 ${\displaystyle f}$의 정칙점(영어: regular point)이라고 한다. 만약 ${\displaystyle f}$가 모든 ${\displaystyle x\in M}$에서 침몰이라면, ${\displaystyle f}$를 단순히 침몰이라고 한다.

(반대로, 만약 ${\displaystyle \mathrm {T} _{x}f}$가 단사 함수라면 ${\displaystyle f}$를 몰입이라고 한다.)

${\displaystyle m}$차원 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$과 ${\displaystyle n}$차원 매끄러운 다양체 ${\displaystyle N}$ 사이에서, 정칙점을 하나 이상 갖는 매끄러운 함수 ${\displaystyle f\colon M\to N}$가 존재할 필요 조건은 ${\displaystyle m\geq n}$인 것이다.

두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수 ${\displaystyle f\colon M\to N}$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle y\in N}$에 대하여, 모든 ${\displaystyle f^{-1}\{y\}\subseteq M}$의 원소가 정칙점이라면, ${\displaystyle y\in N}$를 ${\displaystyle f}$의 정칙치(正則値, 영어: regular value)라고 한다.

두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수 ${\displaystyle f\colon M\to N}$의 정칙치 ${\displaystyle y\in N}$에 대하여, ${\displaystyle f^{-1}\{y\}\subseteq M}$은 매끄러운 다양체를 이룬다.

${\displaystyle m}$차원 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$과 ${\displaystyle n}$차원 매끄러운 다양체 ${\displaystyle N}$ 사이의 매끄러운 함수 ${\displaystyle f\colon M\to N}$의 정칙점 ${\displaystyle x\in M}$이 주어졌다고 하자. 침몰 정리(영어: submersion theorem)에 따르면, 다음 조건을 만족시키는

• 열린 근방 ${\displaystyle U\ni x}$
• 열린 근방 ${\displaystyle V\ni f(x)}$
• 국소 좌표계(정의역과 상 사이의 미분 동형을 정의하는 단사 매끄러운 함수) ${\displaystyle \phi \colon U\to \mathbb {R} ^{m}$
• 국소 좌표계(정의역과 상 사이의 미분 동형을 정의하는 단사 매끄러운 함수) ${\displaystyle \chi \colon V\to \mathbb {R} ^{n}$

가 항상 존재한다.

${\displaystyle \chi \circ f\circ \phi ^{-1}=\pi _{m,n}\upharpoonright \phi (U)}$

여기서

• ${\displaystyle \pi _{m,n}\colon \mathbb {R} ^{m-n}\times \mathbb {R} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {R} ^{n}$은 사영 함수이다.

임의의 두 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$이 주어졌을 때, 사영 함수

${\displaystyle \pi \colon M\times N\twoheadrightarrow N}$

은 침몰이다.

보다 일반적으로, 임의의 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M}$은 침몰이다.

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