Modus tollens

U logici, modus tolens je formalni naziv za validan indirektan dokaz ili dokaz kontrapozicijom, sledećeg oblika:

Ako P, onda Q.

Q je netačno.

Stoga, P je netačno.^[1]

Modus tolens ima dve premise. Prva premisa je uslovni ako-onda iskaz, da iz P sledi Q. Druga je da je Q netačno (neistinito). Iz ove dve premise se može logički zaključiti da P mora biti netačno.

Razmotrimo primer:

Ako u prostoriji ima vatre, onda u prostoriji ima kiseonika.

U prostoriji nema kiseonika.

Stoga, u prostoriji nema vatre.

Još jedan primer:

Ako počinim zločin biću uhapšen.

Neću biti (nisam) uhapšen.

Zaključujemo - nisam počinio zločin.

Pretpostavimo da su obe premise istinite. Ako je neka osoba počinila zločin, onda ona zaista mora biti uhapšena; a činjenica je da ta osoba nije uhapšena, odnosno neće ni biti. Šta sledi? Da ona nije počinila zločin. Ako je argument validan i ako su premise istinite, zaključak mora da sledi.

Ali pretpostavimo sada da nije neophodno da ubica poseduje sekiru. Na primer, moguće je da je ubica pozajmio sekiru (znači, Jovan može biti ubica uprkos neposedovanju sekire). Ovo znači da je prva premisa neistinita. Argument je svejedno validan: da su premise bile tačne, zaključak bi sledio. U našem konkretnom slučaju, nisu sve premise tačne. Naravno iz ovoga ne sledi da Jovan mora da bude ubica, već samo ne sledi da nije ubica.

Svaka upotreba modus tolensa se može pretvoriti u upotrebu modus ponensa i jednu upotrebu transpozicije u premisu koja je materijalna implikacija. Na primer:

Ako P, onda Q. (premisa -- materijalna implikacija)

AKo je Q netačno, onda je P netačno. (dobijeno transpozicijom)

Q je netačno. (premisa)

Stoga, P je netačno. (dobijeno modus ponensom)

I obratno, svaka upotreba modus ponensa se može pretvoriti u upotrebu modus tolensa uz transpoziciju.

Zapisano logičkim operatorima:

${\displaystyle ((P\Rightarrow Q)\land \neg Q)\vdash \neg P}$

Ili u notaciji teorije skupova:

${\displaystyle P\subseteq Q}$

${\displaystyle x\notin Q}$

${\displaystyle \therefore x\notin P}$

(P je podskup od Q. Element x nije u Q. Stoga, x nije u P.)

Ili u notaciji prirodne dedukcije:

${\displaystyle {\frac {P\Rightarrow Q~~~\neg Q}{\neg P}$

Takođe se može videti u obliku:

Ako P onda Q

Ne-Q

Stoga, ne-P

• Modus ponens
• Modus tolendo ponens
• Modus tolendo tolens

• mathworld.wolfram.com: Modus tolens