多項式

多項式，零或單項式之和也。

斯文所議之多項式，乃吾人所習用者也^[一]。

取不知者曰元（${\displaystyle x}$）。取一數（${\displaystyle a}$），曰系數，乘元之整冪次（${\displaystyle ax^{n}$），謂單項式。單項式相加，曰多項式。於數，謂之形如${\displaystyle a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x_{1}+a_{0}$者。單項之式與零，亦可作多項式論。

例：六乘元四次方減五乘元平方加三乘元加九（${\displaystyle 6x^{4}-5x^{2}+3x+9}$），最高冪次，曰多項式之冪次，為四；最高冪次之系數，曰隅，為六；元零乘方之系數，曰常數，為九^[二]。

多項式者，一如數者，可為四則籌算也。

加減之法，同冪之項分作，以其係數加減矣。例：六乘元四次方減五乘元平方加三乘元加九（${\displaystyle 6x^{4}-5x^{2}+3x+9}$）與三乘元平方加六乘元加五（${\displaystyle 3x^{2}+6x+5}$）相合，得六乘元四次方減二乘元平方加九乘元加十四（${\displaystyle 6x^{4}-2x^{2}+9x+14}$）。

乘之法，以分配律行之。例曰：一元減一${\displaystyle (x-1)}$與三乘元平方加六乘元加五${\displaystyle (3x^{2}+6x+5)}$相積，得三乘元立方加三乘元平方去一元去五${\displaystyle (3x^{3}+3x^{2}-x-5)}$。

除之法，以長除法行之。例曰：元立方減十二乘元平方去四十二${\displaystyle (x^{3}-12x^{2}-42)}$以一元減三${\displaystyle (x-3)}$除之，得元平方去九元減廿七${\displaystyle (x^{2}-9x-27)}$，餘負百廿三不可除也。或據除法原理，記曰：${\displaystyle (x^{3}-12x^{2}-42)=(x-3)(x^{2}-9x-27)+(-123)}$

以長除法行之，其法如下：

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \quad \;\,x^{2}\;-9x\quad -27\\\qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27x+81}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}$

1. ↑ 最廣義計，某環及數元生成之環，其物可曰多項式。例，以四元數作系數，x及y作元，生成${\displaystyle \mathbb {H} [x,y]}$，其中xjy，yxj，xyj皆相異之多項式耳！
2. ↑ 方程${\displaystyle a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x_{1}=b}$，古稱 ${\displaystyle a_{n}$為隅，${\displaystyle a_{1}$為方，${\displaystyle a_{2}$為廉一，${\displaystyle a_{3}$為廉二，類推可也，而${\displaystyle b}$曰實。