在数学 中,映射 的限制
f
{\displaystyle f}
是一个新的映射,记作
f
|
A
{\displaystyle f\vert _{A}
或者
f
↾
A
{\displaystyle f{\upharpoonright _{A}
,它是通过为原来的映射
f
{\displaystyle f}
选择一个更小的定义域
A
{\displaystyle A}
来得到的。反过来,也称映射
f
{\displaystyle f}
是映射
f
|
A
{\displaystyle f\vert _{A}
的扩张 。
正式定义
设
f
:
E
→
F
{\displaystyle f:E\to F}
是一个集合
E
{\displaystyle E}
到集合
F
{\displaystyle F}
的映射。如果
A
{\displaystyle A}
是
E
{\displaystyle E}
的子集 ,那么称满足
∀
x
∈
A
,
f
|
A
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in A,\quad {f|}_{A}(x)=f(x)}
的映射[ 1]
f
|
A
:
A
→
F
{\displaystyle {f|}_{A}:A\to F}
是映射
f
{\displaystyle f}
在
A
{\displaystyle A}
上的限制 。不正式地说,
f
|
A
{\displaystyle {f|}_{A}
是和
f
{\displaystyle f}
相同的映射,但只定义在
A
{\displaystyle A}
上。
如果将映射
f
{\displaystyle f}
看作一种在笛卡尔积
E
×
F
{\displaystyle E\times F}
上的关系
(
x
,
f
(
x
)
)
{\displaystyle (x,f(x))}
,然后
f
{\displaystyle f}
在
A
{\displaystyle A}
上的限制可以用它的图像 来表示:
G
(
f
|
A
)
=
{
(
x
,
f
(
x
)
)
∈
G
(
f
)
:
x
∈
A
}
=
G
(
f
)
∩
(
A
×
F
)
,
{\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),}
其中
(
x
,
f
(
x
)
)
{\displaystyle (x,f(x))}
表示图像
G
{\displaystyle G}
中的有序对 。
扩张
映射
F
{\displaystyle F}
称为另一映射的
f
{\displaystyle f}
的扩张 ,当且仅当
F
|
Dom
(
f
)
=
f
{\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {Dom} (f)}=f}
。也就是说同时满足下面两个条件:
属于
f
{\displaystyle f}
之定义域的
x
{\displaystyle x}
必然也在
F
{\displaystyle F}
的定义域中,即
Dom
(
f
)
⊆
Dom
(
F
)
{\displaystyle \operatorname {Dom} (f)\subseteq \operatorname {Dom} (F)}
;
f
{\displaystyle f}
和
F
{\displaystyle F}
在它们共同的定义域上的行为相同,即
∀
x
∈
Dom
(
f
)
,
f
(
x
)
=
F
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in \operatorname {Dom} (f),\quad f(x)=F(x)}
。
具有特定性质的扩张
数学上经常需要将一个具有指定性质的映射的定义域扩大,并要求扩张后的结果仍具有该性质,但扩张后。如寻找一个线性映射
f
{\displaystyle f}
的扩张映射
F
{\displaystyle F}
,且
F
{\displaystyle F}
仍是线性的,这时说
F
{\displaystyle F}
是
f
{\displaystyle f}
的一个线性扩张 ,或者说;寻找一个连续 映射
f
{\displaystyle f}
的扩张映射
F
{\displaystyle F}
,且
F
{\displaystyle F}
仍连续,则称为进行了连续扩张 ;诸如此类。
具有特定性质的扩张可能是唯一的,这时则不必给出扩张映射
F
{\displaystyle F}
的详细定义,如稠密子集 到豪斯多夫空间 的映射的连续扩张 。
例子
非单射 函数
f
:
R
→
R
:
x
↦
x
2
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :\ x\mapsto x^{2}
在域
R
+
=
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}
上的限制是
f
:
R
+
→
R
,
x
↦
x
2
{\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}
,而这是一个单射。
将Γ函数 限制在正整数集上,并将变量平移
1
{\displaystyle 1}
,就得到阶乘 函数:
Γ
|
Z
+
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}\!(n)=(n-1)!}
。
限制的性质
映射
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\rightarrow Y}
在其整个定义域
X
{\displaystyle X}
上的限制即是原函数,即
f
|
X
=
f
{\displaystyle f|_{X}=f}
。
对一个映射在限制两次与限制一次效果相同,只要最终的定义域一样。也就是说,若
A
⊆
B
⊆
Dom
(
f
)
{\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {Dom} (f)}
,则
(
f
|
B
)
|
A
=
f
|
A
{\displaystyle \left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}
。
集合
X
{\displaystyle X}
上的恒等映射 在集合
A
{\displaystyle A}
上的限制即是
A
{\displaystyle A}
到
X
{\displaystyle X}
的包含映射 。[ 2]
连续函数 的限制是连续的。[ 3] [ 4]
應用
反函數
定义域为
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
的函数
x
2
{\displaystyle x^{2}
没有反函数 。若考虑
x
2
{\displaystyle x^{2}
到非负实数 的限制,则它有一个反函数,称为平方根
x
{\displaystyle x}
。
若某函數存在反函數,其映射必為單射 。若映射
f
{\displaystyle f}
非單射,可以限制其定義域以定義其一部分的反函數。如:
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}
因為
x
2
=
(
−
x
)
2
{\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}
,故非單射。但若將定義域限制到
x
≥
0
{\displaystyle x\geq {0}
時該映射為單射,此時有反函數
f
−
1
(
y
)
=
y
{\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}
(若限制定義域至
x
≤
0
{\displaystyle x\leq {0}
,輸出
y
{\displaystyle y}
的負平方根的函數為反函數。)另外,若允許反函數為多值函数 ,則無需限制原函數的定義域。
粘接引理
更多信息:粘接引理
點集拓撲學 中的粘接引理聯繫了函數的連續性與限制函數的連續性。
設拓撲空間
A
{\displaystyle A}
的子集
X
,
Y
{\displaystyle X,\ Y}
同時為開或閉,且滿足
A
=
X
∪
Y
{\displaystyle A=X\cup {Y}
,設
B
{\displaystyle B}
為拓撲空間。若映射
f
:
A
→
B
{\displaystyle f:A\to {B}
到
X
{\displaystyle X}
及
Y
{\displaystyle Y}
的限制都連續,則
f
{\displaystyle f}
也是連續的。
基於此結論,粘接在拓撲空間中的開或閉集合上定義的兩個連續函數,可以得到一個新的連續函數。
層
層 將函數的限制推廣到其他物件的限制。
層論 中,拓撲空間
X
{\displaystyle X}
的每個開集
U
{\displaystyle U}
,有另一個範疇 中的物件
F
(
U
)
{\displaystyle F(U)}
與之對應,其中要求
F
{\displaystyle F}
滿足某些性質。最重要的性質是,若一個開集包含另一個開集,則對應的兩個物件之間有限制態射 ,即若
V
⊆
U
{\displaystyle V\subseteq U}
,則有態射
r
e
s
V
,
U
:
F
(
U
)
→
F
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}
,且該些態射應仿照函數的限制 ,滿足下列條件:
對
X
{\displaystyle X}
的每個開集
U
{\displaystyle U}
,限制態射
r
e
s
U
,
U
:
F
(
U
)
→
F
(
U
)
{\displaystyle \mathrm {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}
為
F
(
U
)
{\displaystyle F(U)}
上的恆等態射。
若有三個開集
W
⊆
V
⊆
U
{\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}
,則複合
r
e
s
W
,
V
∘
r
e
s
V
,
U
=
r
e
s
W
,
U
{\displaystyle \mathrm {res} _{W,V}\circ \mathrm {res} _{V,U}=\mathrm {res} _{W,U}
。
(局部性)若
(
U
i
)
{\displaystyle (U_{i})}
為某個開集
U
{\displaystyle U}
的開覆蓋 ,且
s
,
t
∈
F
(
U
)
{\displaystyle s,t\in F(U)}
滿足:對所有
i
{\displaystyle i}
,
s
↾
U
i
=
t
↾
U
i
{\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}=t\upharpoonright _{U_{i}
,則
s
=
t
{\displaystyle s=t}
。
(黏合) 若
(
U
i
)
{\displaystyle (U_{i})}
為某個開集
U
{\displaystyle U}
的開覆蓋,且對每個
i
{\displaystyle i}
,給定截面
s
i
∈
F
(
U
i
)
{\displaystyle s_{i}\in F(U_{i})}
,使得對任意兩個
i
,
j
{\displaystyle i,j}
,都有
s
i
,
s
j
{\displaystyle s_{i},s_{j}
在定義域重疊部分重合(即
s
i
↾
U
i
∩
U
j
=
s
j
↾
U
i
∩
U
j
{\displaystyle s_{i}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}=s_{j}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}
),則存在截面
s
∈
F
(
U
)
{\displaystyle s\in F(U)}
使得對所有
i
{\displaystyle i}
,
s
↾
U
i
=
s
i
{\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}=s_{i}
。
所謂拓撲空間
X
{\displaystyle X}
上的層 ,就是該些物件
F
(
U
)
{\displaystyle F(U)}
和態射
r
e
s
V
,
U
{\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}
組成的整體
(
F
,
r
e
s
)
{\displaystyle (F,\mathrm {res} )}
。若僅滿足前兩項條件,則稱為預層 。
引注
^
Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories 2nd. San Francisco: W. H. Freeman and Company. 1974: [36]. ISBN 0-7167-0457-9 .
^ Halmos, Paul . Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
^ Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River: Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2 .
^ Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David. Introduction to Topology: Pure and Applied . Pearson Prentice Hall. 2008. ISBN 978-0-13-184869-6 .